Come calcolare le probabilità di vincita di $ 1.1 miliardi e il valore di un biglietto da Mega Millions

Sembra che ogni biglietto da $ 2 valga $ 3.60. Ma non lo è.

Probabile jackpot per l'estrazione Mega Millions del 29 luglio: $ 1.1 miliardi. Probabilità che il tuo biglietto lo vinca: poco più di 1 su 300 milioni.

Dividi un numero per l'altro. Sembra che il guadagno previsto di un biglietto da $ 2 sia superiore a $ 3.60. Quindi dovresti comprarne un carico?

No, e questo saggio analizzerà l'aritmetica del perché. Se devi, compra un biglietto, per divertirti. Acquistarne due sarebbe sciocco.

Ci sono tre ragioni per cui il jackpot è troppo esiguo per dare al tuo biglietto un rendimento atteso positivo. Il primo è che il numero pubblicizzato è fuorviante. Il piatto deve essere erogato in 30 anni. Se lo vuoi tutto in una volta, si riduce a $ 648 milioni.

Il tuo guadagno atteso è già sceso a $ 2 e cambia, appena meglio di un pareggio.

Il prossimo problema è che potresti condividere questi soldi. C'è una probabilità del 35% che ci sia un altro vincitore, quindi ne otterrai solo la metà. C'è una probabilità del 40% che condividerai con due o più altri vincitori.

Il rischio di dover condividere riduce il valore del jackpot fino a $ 1.17.

L'ultimo taglio di capelli è per le tasse. Il tasso federale su una grande manna è del 37%. La tariffa statale e locale potrebbe variare dallo 0% (come in Texas) al 14.8% (a New York City). La tabella dei payoff di seguito presuppone un hit statale e locale del 5%.

Con una tassa combinata del 42%, il tuo guadagno atteso dal jackpot scende a 68 centesimi. I premi più piccoli valgono qualcosa, ma non abbastanza per spingere il valore di un biglietto della lotteria al di sopra di un dollaro.

C'è un gruppo selezionato di giocatori della lotteria che fanno leggermente meglio perché il loro prelievo dalle vincite più piccole è esente da tasse. Quel gruppo è composto da persone ricche e stupide. Spiegherò più tardi.

Il gioco Mega Millions consiste nel selezionare cinque numeri diversi nell'intervallo da 1 a 70 e un numero Mega nell'intervallo da 1 a 25. I primi cinque sono come una mano di poker e il loro ordine non ha importanza. Il numero Mega può essere uguale a quello estratto nel primo gruppo.

Per vincere il jackpot, devi colpire tutti e sei i numeri. Se abbini i primi cinque ma non la Mega ball, ottieni $ 1 milione. Ci sono premi più piccoli per le partite minori.

Tralascio da questa discussione un'opzione "moltiplicatore" che costa un dollaro in più e ti offre pagamenti migliori dai premi del sub-jackpot.

I piccoli premi sono fissi. Il jackpot no. Inizia in piccolo e cresce ogni volta che c'è un'estrazione senza vincitore del jackpot.

Alla fine del sorteggio del 26 luglio, il piatto era di $830 milioni. Gli operatori della lotteria stimano che saranno venduti poco più di 415 milioni di biglietti per l'estrazione del 27 luglio, per 831 milioni di dollari di vendite lorde. Una parte del 32.5%, o $ 270 milioni, va nel piatto. Ciò produrrebbe un piatto del venerdì sera di $ 1.1 miliardi. Questo è prima dello sconto per un pagamento immediato.

Non pregare per una frenesia di acquisto dell'ultimo giorno che renda il jackpot più grande della stima ufficiale. Aumenterebbe anche il rischio che altri vincitori si arrampichino sui tuoi soldi. L'effetto netto della vendita dei biglietti a questo punto è quello di abbassare il valore di ogni biglietto.

Ecco il mio calcolo di quanto vale un biglietto:

Ti starai chiedendo da dove provengono alcuni di questi numeri.

Per ottenere le quote su una vincita del jackpot, inizia moltiplicando questa quantità:

70x69x68x67x66,

che è il numero di modi per estrarre cinque palline da un'urna di 70 palline, senza sostituzione, e poi dividere per questa quantità:

5x4x3x2,

che è il numero di modi per mettere in sequenza cinque oggetti (ricorda, la lotteria non si preoccupa dell'ordine).

Quando hai finito, moltiplica per 25, perché hai solo 1 possibilità su 25 di inchiodare la Mega Ball.

Risultato: 1 possibilità su 302,575,350 di vincita. O, in altre parole, quote di 302,575,349 a 1 contro.

Una corrispondenza di quattro dei numeri principali è 325 volte più probabile. Questo perché ci sono cinque diversi numeri da sbagliare e, per ciascuno, 65 diversi numeri sbagliati.

Per quanto riguarda la condivisione, diventa un po' complicato. Devi calcolare un fattore di condivisione. Aggiungi la probabilità che non ci siano altri vincitori... a ½ volte la probabilità che ce ne sia un altro... a 1/3 della probabilità che ce ne siano altri due... e così via.

Salterò i dettagli ma noterò che la prima di queste probabilità (che nessuno degli altri 415 milioni di biglietti è un vincitore del jackpot) è molto approssimata da e^-R, dove e è un numero che avresti dovuto imparare in matematica classe e R è il rapporto tra 415 milioni e 302.5 milioni.

Che ne dici di evitare la bolletta fiscale? È difficile da fare con i premi più grandi. Per le piccole vincite, puoi usufruire della detrazione fiscale per le perdite di gioco. Se sei un giocatore normale e mantieni le tue matrici di biglietti perdenti, potresti averne abbastanza per cancellare una vincita di $ 500. Tuttavia, la detrazione è limitata all'importo delle vincite segnalate e può essere richiesta solo da persone che dettagliano le detrazioni.

In generale, per ottenere un vantaggio dall'iterazione devi essere ricco. Per essere un normale giocatore della lotteria devi essere stupido.